备考向-30道联赛代数不等式 - 知乎

　　本菜又来水乎了～这一次是正儿八经的竞赛内容

　　2020联赛将至。因为本菜新高一不参加联赛，这日子口时间反倒宽松，就瞎整理了一些联赛代数难度的不等式，最终码了30题出来，给各位巨巨练(miao)手(sha)。

　　当然咱不希望读篇文章很费脑，相信巨巨们也不一定有时间拿着题做，所以我建议看题时轻松一点，不动笔，稍微想想用什么手段处理，思考一下就好。此30题难度不会很大，但是每道题都具巧思。这些题我会给出关键步骤，毕竟根据提示补充完过程不是难事。希望这30道题思考下来，巨巨们能够从中回味一些不等式的技巧，唤醒或理顺代数的思维。

　　如果能给备考提供一点点的帮助，花工夫写这篇文章也是很值得的。

　　接下来放题，我们一道一道分析。（题目非原创，来源清楚的我会标注；难度无序）

　　以下是每一道的提示解答：

　　嗯哼哼，第一题当然会很容易。显然的不动脑子题，认真你就输了；柯西一下把sigma扔进分式里，恒等变形一下接着用放缩 n+1＞√n 就做完了。

　　看的出来，这题应该得使巧劲来配次数，很有难度，这里搬一位来自南师附中的学长 李心宇的妙解（转自许康华竞赛优学）：

　　呼～很妙很妙

　　漂亮的解法来自 @Ziegel37

　　据说本题来自龚固老师。难度不大，把b求和甩左边柯西放一下完事，选这道题的原因是调整心态。

　　不等式两边都乘上个条件式，一是扔掉丑丑的条件式，二是化成齐次，只需证ak为正时不等式成立。赋值成n后，建立局部。这里给出一个：

　　经过上道题的洗礼，来看个弱智题，用用排序就做完了。

　　三角代换能做但不建议

　　这个就属于中规中矩的题目了，分式单一就化为部分分式，剩下的无脑放，问题不大，前面的几道题都不会很恶心。

　　数竞男神田开斌老师给出了此题的解答，并给出了不等式的上界。

　　9题建议你一定动笔算算

　　我承认这道题的确有些阴间，不过消消乐还是挺好玩的（

　　水题，光看右式，猜都能猜到用判别式△。令sigma ai为A，写写发现A²-A+nc＝0。

　　调整

　　这先把λ找出来会很好做

　　局部：1/［(a+1)²(b+c)］≤3/［8+8a√c+8a√b］(来自 女神严彬玮 公众号 许康华竞赛优学)

　　考查了两个方向，一是不等式恒成立原理，二是齐次对称式的赋值，μ最小27/5 λ最大5

　　归纳后均值，比较强但不难做的不等式。

　　三角代换，看见16和五次想到五倍角公式，故令xi＝cosθi。

　　相当漂亮的题目

　　古董题，注意利用sigma xixj/ci+cj≥0 (求导或判别式就可以)

　　归纳+Chebyshev

　　要想取得最小值，可以考虑a1到an中的极大小于等于二分之一和，事实上这恰恰是取得最小值的充要条件，接下来就用数归来论证这件事就好。

　　把你学过的放缩都弄上去试试看

　　第一感肯定是换元，如令a＝x/y →a＞1/√5...（同样定义bcd，有abcd＝1） 接下来就只需证: 若f(x)＝1/(5x-1/x)，则 sigma f(a)≥1，事实上只需证 f(a)+f(b)≥2f(√ab)， 这是显然的。

　　这个题能让你体会循环和号的好玩之处，给出角度清奇的中间步骤：

　　LHS＝(p-q)sigma a²+1/2q sigma (a+b)²，想法是尽量往右式凑，所以找到这两个放缩：①sigma a≥3 ②sigma a²≥sigma a. 剩下的就不必多言了。

　　来自@Xlc 巨巨的解答～

　　看起来很诡异的题目，实际上用待定系数解决，将ai-ta i+1-a i+2看成一个整体，消去无用项，找到递推方程接下来的就是无脑放…

　　和哈代不等式非常像，所以想到用证哈代的柯西方法证此题，至于怎么弄…百度一下，照猫画虎。

　　（来自知乎大神 讓讓）

　　题目和解答均来自 贴吧用户 55_RV4GE

　　以后填。

　　柯西逼近的典型例子，先柯一次得 (n-1)(n+n(n-1)t²-a1²)≥(n-a1)² 其中t属于［0，1］且有sigma ai^2等于n+(n-1)t² ，接下来化简得ai的范围：1-(n-1)t≤ai≤1+(n-1)t，剩下就是很自然地使用逼近法然后代数变形。

　　阴间玩意

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　　有时间还会再更，代数题还会再找，如果想看其他板块的内容，还请关注我的专栏

　　最后，祝读过本文的巨巨们联赛顺利！考出自己理想的分数！

　　byeeeee~(码了好多...我已经累成狗了)